2025年全国硕士研究生招生考试数学（三）
欢迎参加本次考试，请仔细阅读考生注意事项并按要求作答。
1. 考生信息：
考生姓名：
考生注意事项：1.答题前，考生须在答题卡指定位置上填写考生编号和考生姓名；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。2.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。3.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔书写，字迹工整、笔记清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。4.考试结束，将答题卡和试题册按规定交回。
一、选择题（每小题5分，共50分。下列每题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的。）
2. 当x=0时，下列无穷小量中，与x等价的是
e^x - 1
√(1 - cosx)
1 - cos√(2x)
1 - ln(1 + x)/x
3. 已知函数f(x) = ∫₀ˣ e^t sin t dt，g(x) = ∫₀ˣ e^t sin t dt - ∫₀ˣ t dt，则
x=0是f(x)的极值点，也是g(x)的极值点
x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=g(x)的拐点
x=0是f(x)的极值点，(0,0)是曲线y=f(x)的拐点
(0,0)是曲线y=f(x)的极值点，也是曲线y=g(x)的拐点
4. 已知k为常数，则级数∑ₙ=1^∞ (-1)^n (1 - cos(k/n))
绝对收敛
条件收敛
发散
敛散性与k的取值有关
5. 设函数f(x)连续，则∫₀ᵃ f(x)f(a - x)dx =
∫₀ᵃ f(x)dx
∫₀ᵃ f(a - x)f(x)dx
∫₀ᵃ f(a - x)dx
∫₀ᵃ (a - x)f(x)dx
6. 已知A是m×n矩阵，β是m维非零列向量。若A有k阶非零子式，则
当k=m时，Ax=β有解
当k=m时，Ax=β无解
当k < m时，Ax=β有解
当k < m时，Ax=β无解
7. 设A为3阶矩阵，则“A² + A可对角化”是“A可对角化”的
充分但不必要条件
必要但不充分条件
充分必要条件
既不充分也不必要条件
8. 设矩阵A = [[1, -1], [2, a]]，B = [[2, 1], [4, 3]]，若f(x, y) = xᵀAᵀB A y是正定二次型，则a的取值范围是
(0, 2 - √3)
(2 - √3, 2 + √5)
(2 - √3, 4)
(0, 4)
9. 设随机变量X服从正态分布N(-1, 1)，Y服从正态分布N(1, 2)，若X与X + 2Y不相关，则X与X - Y的相关系数为
1/2
3/4
-1/2
-3/4
10. 设X₁,X₂,…,Xₙ是来自总体B(10, p)的简单随机样本。令T = ∑ᵢ=1ⁿ Xᵢ，利用泊松分布近似表示二项分布的方法可得P(T ≤ 1) ≈
e^(-10np)(1 + 10np)
e^(-np)(1 + np)
e^(-10n)(1 + 10n)
e^(-n)(1 + n)
11. 设总体X的分布函数为F(x)，X₁,X₂,…,Xₙ为来自总体X的简单随机样本，样本的经验分布函数为Fₙ(x)。对于给定的x(0 < F(x) < 1)，D(Fₙ(x)) =
F(x)(1 - F(x))
(F(x))²
F(x)(1 - F(x))/n
(F(x))²/n
二、填空题（每小题5分，共30分。）
12. 设g(x)是函数f(x) = (2x + 1)/(x - 1)的反函数，则曲线y = g(x)的渐近线方程为
13. 设∫₁² 1/(x(2x + a)) dx = ln2，则a =
14. 微分方程xy' - y + x²e^x = 0满足条件y(1) = -e的解为y =
15. 已知函数z = z(x, y)由z + ln z - ∫₀ˣ e^(-t²) dt = 1确定，则∂z/∂x|(0,0) =
16. 已知f(x) = |2x - 1| + |2x + 1|，g(x) = 4x² + 1，则方程f(x) = g(x)的不同的根的个数为
17. 设A,B,C为三个随机事件，且A与B相互独立，B与C相互独立，A与C互不相容。已知P(A) = P(C) = 1/4，P(B) = 1/2，则在事件A,B,C至少有一个发生的条件下，A,B,C中恰有一个发生的概率为
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
18. 计算∫1/(x + 1)(x² - 2x + 2) dx
19. 设函数f(x)在x=0处连续，且lim(x→0) [x f(x) - e^x + 1]/[ln(1 + x) - ln(1 - x)] = -3，证明f(x)在x=0处可导，并求f'(0)
20. 已知平面有界区域D = {(x,y)|x² + y² ≤ 4x, x + y ≤ 4}，计算∫∫_D (x - y)² dxdy
21. 设函数f(x)在区间(a,b)内可导。证明：导函数f'(x)在(a,b)内严格单调增加的充分必要条件是：对(a,b)内任意的x₁,x₂,x₃，当x₁ < x₂ < x₃时，有[f(x₂) - f(x₁)]/(x₂ - x₁) < [f(x₃) - f(x₂)]/(x₃ - x₂)
22. 设矩阵A = [[3, 0, -1], [0, 1, a], [1, 2, 2]]的秩为2。(1)求a的值；(2)求A的列向量组的一个极大线性无关组α,β，并求矩阵H，使得A = (α,β)H
23. 投保人的损失事件发生时，保险公司的赔付额Y与投保人的损失额X的关系为Y = 0, x ≤ 100; Y = X - 100, x > 100。设损失事件发生时，投保人的损失额X的概率密度为f(x) = 2×100²/(100 + x)³, x > 0; f(x) = 0, x ≤ 0。(1)求P(Y > 0)及EY；(2)这种损失在一年内发生的次数记为N，保险公司在一年内就这种损失事件产生的理赔次数记为M。假设N服从参数为8的泊松分布，在N = n(n ≥ 1)的条件下，M服从二项分布B(n,p)，其中p = P(Y > 0)，求M的概率分布
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